Integrales por fracciones parciales

Integración Mediante Fracciones Parciales

La Integración mediante fracciones parciales, es uno de los metodos de Integración mas facil, en donde la forma a seguir esta dada (se podría decir), por unos criterios.
 

Definición: Se llama función racional a toda función del tipo

En donde y son polinomios con coeficientes reales, y grado

Ejemplo:

¿Cómo descomponer una función racional en fracciones parciales?

Veamos los siguientes casos:

CASO 1: Factores Lineales Distintos.

A cada factor lineal, ax+b, del denominador de una fraccion racional propia (que el denominador se puede descomponer), le corresponde una fracción de la forma , siendo A una constante a determinar.

Ejemplo:

luego nos queda la siguiente igualdad

o tambien lo podemos escribir 1 = ( A + B )x + 2A - 2B

Haciendo un Sistema.

A + B = 0
2A - 2B = 1 , las soluciones son :

Quedando de esta manera:

con lo cual

CASO 2: Factores Lineales Iguales.

A cada factor lineal, ax+b,que figure n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma

EJEMPLO:

Calculemos la siguente integral

Pero: Tendremos

Amplificando por

Las Soluciones son:

Nos queda:

CASO 3: Factores Cuadráticos Distintos.

A cada factor cuadrático reducible, que figure en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una fracción de la forma siendo A y B constantes a determinar.

Ejemplo:

Calcular:

Con lo que se obtiene

de donde

luego los valores a encontrar son.

A = 0 , B = 1 , C = 1 , D = 0

CASO 4: Factores cuadráticos Iguales

A cada factor cuadrático irreducible, que se repita n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma

siendo los valores de A y B constantes reales.

Ejemplo:

Calcular la siguente integral

tendremos que por tanto multiplicando a ambos lados de la igualdad por el minimo común denominador tenemos

Donde los valores de las constantes son

A = 0 , B = 2 , C = 0 , D = 1

De donde remplazando e integrando a primitivas se obtiene.